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Análisis de estabilidad de von Neumann

Este método es muy conocido para analizar los parámetros en una discretización que garantizan la estabilidad del método numérico. Ver, por ejemplo, el análisis de la ecuación de difusión en wikipedia (que yo, ejem, acabo de modificar). Pero, en mi opinión, la discusión se mete en funciones trigonométricas que despistan bastante. Sobre todo, porque acaban evaluadas en "la peor situación", que se ve venir de antemano. Aquí propongo anticipar esa situación desde el principio.

 

Por cierto: es "fon no i man"

 

Difusión

Comencemos con la ecuación de difusión ("del calor")

Latex formula
 

Una discretización directa sería adelantada en tiempo y centrada en espacio:

Latex formula

donde

Latex formula

La discusión a partir de este punto se orienta hacia el error respecto a la solución exacta. En vez de meternos en esto, supongamos (¡primer atajo!) que la solución tiene forma sinusoidal:

Latex formula

Como es típico en física, en realidad se debe tomar la parte real del número complejo de la derecha. La amplitud A también es compleja. En versión discreta:

Latex formula

La ecuación discretizada (1) se convierte, tras simplificar un poco, en:

Latex formula

Now, the usual discussion would relate the part with the complex exponentials to a squared sine. Not us, in our shortcut we just ask ourselves about the wort-case scenario for the equation

$latex \qquad A^{n + 1} =  C A^n .$

Here, $latex C=1 + r   [  e^{i k \Delta x} +e^{- i k \Delta x} -2 ]  $  is a complex number, whose phase is basically harmless. Its modulus, on the other hand should be less that one, or else that particular solution will blow up. But, from Fourier analysis we know that any solution basically contains that solution. Even if does not, numerical truncation errors are going to make it appear, and blow up.

The real part of C is always negative, hence the worst case scenario is when

$latex \,e^{i k \Delta x} = e^{ – i k \Delta x} = -1.$

In this case, $latex C=-4$. Requiring

$latex C > -1$

yields the well-known condition $latex r>1/2$. Notice we need not establish a connection with the squared sine function. Also, the wort case scenario corresponds to $latex k=\pi/\Delta x$: a wave in which neighbouring nodes are staggered, with wave length $latex \lambda=2 \Delta x$.

It is easy to see that an implitic scheme such as this one:

$latex u_j^{n + 1} = u_j^{n} + r \left(u_{j + 1}^{n + 1} – 2 u_j^{n + 1} + u_{j – 1}^{n + 1} \right) $

leads to

$latex A^{n + 1} = A^n + \left( 1 + r   [  e^{i k \Delta x} +e^{- i k \Delta x} -2 ]  \right) A^{n + 1}.$

Now, $latex C= 1/( 1 –  r   [  e^{i k \Delta x} +e^{- i k \Delta x} -2 ]  )$, a complex number whose modulus is never greater than one. Hence this scheme is unconditionally stable.

 

 

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2 comentarios

  1. leonardo dice:

    Buenos dias

    quiero preguntar cómo aplicar este criterio a la ecuación de Helmholtz dado que está no tiene dependencia del tiempo.

    • daniel.duque@upm.es dice:

      Hola,

      Este criterio sólo tiene sentido para ecuaciones dependientes del tiempo. No sé si hay otro similar para las que no dependen del tiempo, supongo que puede haber algo similar si hay anisotropía en alguna de las direcciones espaciales.

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