Las transformadas de Fourier discretas, versión general (DFT) y rápida (FFT).

Para ver si puedo resolver problemas en el espacio de Fourier.

¡Los prefactores lían mucho!

De momento, en python llevo hecho esto: una transformación 1D directa e inversa:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from math import pi

T=10
N=256
t = np.linspace(0,T,N)
ft= 3 * np.sin(2*pi*3.6*t + 2)+1
fo = np.fft.fft( ft ) / N
fo = np.fft.fftshift(fo)

fo[0]

freq = np.fft.fftfreq( N, float(T)/N )
freq = np.fft.fftshift(freq)

#plt.plot(freq, sp.real, freq, sp.imag)
plt.plot(freq, abs( fo ) )

plt.show()

ft2 = N * np.fft.ifft( fo )
 

Cálculo de la segunda derivada a través de la transformada, 1D:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from math import pi

T=10
N=256
om=0.6

t = np.linspace( 0 , T , N , endpoint=False )
ft= 3 * np.sin( 2*pi* om *t + 2)+1
fo0 = np.fft.fft( ft ) / N
fo  = np.fft.fftshift( fo0 )

fo0[0]

freq0 = np.fft.fftfreq( N, float(T)/N )
q     =  2*pi* freq0

freq  = np.fft.fftshift( freq0 )

ddfo = – q**2 * fo0

#plt.plot(freq, sp.real, freq, sp.imag)
plt.plot(freq, abs( fo ) )

plt.show()

ft2 = N * np.fft.ifft( fo0 )

ddft = N * np.fft.ifft( ddfo )
 

Transformada directa e inversa en 2D:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from math import pi

L=10
N=64

[x, y] = np.meshgrid( np.linspace(0,L,N),
                      np.linspace(0,L,N))

kx=0.2 #2.2
ky=0.7 #1.7

f = np.sin( 2*pi* ( kx * x + ky * y ) ) + np.random.uniform(0, 1, x.shape)

# plt.pcolor(x,y,f)

fou0 = np.fft.fft2( f ) / (N*N)
fou  = np.fft.fftshift( fou0 )

freq = np.fft.fftfreq( N, float(L)/N )
freq = np.fft.fftshift(freq)

[fx , fy] = np.meshgrid( freq, freq )

plt.pcolor(fx,fy,abs(fou) )

#plt.plot(freq, sp.real, freq, sp.imag)
#plt.plot(freq, abs( fo ) )

plt.show()

f2 = N * N * np.fft.ifft2( fou0 )

plt.pcolor(x,y,f)
plt.pcolor(x+L,y,f2.real)