Integración de funciones racionales

En esta sección vamos a integrar expresiones de la forma:

donde P y Q son polinomios de coeficientes reales.

Puedes consultar el mapa conceptual para tener una idea general del  procedimiento a seguir.

En primer lugar comprobamos si se trata de una integral inmediata de tipo cociente o logarítmica:

Ejemplos:

Si la integral no es inmediata consideramos dos casos:

1. El grado de P es mayor o igual que el grado de Q.

Se realiza la división de P(x) por Q(x):

Entonces,

Ejemplos:

2. El grado de P es menor que el grado de Q.

Un polinomio de grado n en x es una función de la forma:

donde a_i, i=1, 2, ..., n son constantes y a_n ≠ 0.

Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar como producto de factores reales lineales del tipo ax + b y factores reales cuadráticos irreducibles del tipo ax² + bx + c. Decimos que el factor cuadrático es irreducible si b² - 4ac < 0 , es decir, si las raíces de  ax² + bx + c = 0 no son reales.

Ejemplos:

1. x² - 2x + 2 es irreducible, b² - 4ac = -4 < 0 . Sus raíces, r₁ = 1 + i y r₂ = 1 - i no son reales.

2. x² + x -6 = (x - 2)(x + 3) no es irreducible.

Veamos cómo factorizar P(x)/Q(x) en las siguientes situaciones:

                B1. Q sólo tiene raíces reales simples.

                B2. Q sólo tiene raíces reales.

                B3. Q tiene raíces complejas simples.

    B1. Q sólo tiene raíces reales simples.

La factorización del polinomio Q es:

y la descomposición del P(x)/Q(x) en suma de fracciones simples, que es única, es de la siguiente forma:

donde A₁, A₂, ..., A_n son coeficientes indeterminados que pueden calcularse reduciendo la identidad anterior a la forma entera poniendo común denominador:

 y sustituyendo x por los valores de las raíces del polinomio Q.

Ejemplo:

Entonces,

Sustituyendo los valores de los coeficientes indeterminados, se obtiene:

Observación: Otra posibilidad para calcular los coeficientes es igualar los coeficientes de los polinomios:

Los coeficientes indeterminados son la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

    B2. Q sólo tiene raíces reales.

La descomposición de P(x)/Q(x) en fracciones que corresponden a las raíces simples es la misma que en B1. Las fracciones que corresponden a una raíz r de multiplicidad m>1 es la siguiente:

es decir, los numeradores son siempre coeficientes indeterminados y se suman tanto términos como multiplicidad de la raíz, incrementando el exponente del denominador (x-r) desde 1 hasta m.

Ejemplo:

La descomposición en suma de fracciones simples es:

Poniendo común denominador:

Entonces:

    B3. Q tiene raíces complejas simples.

Recordemos que la resolución de la integral indefinida se basa en la descomposición del cociente P(x)/Q(x) en suma de fracciones simples. Si Q tiene raíces reales, las fracciones de la descomposición son las indicadas en B1 y B2.

Si Q tiene una raíz imaginaria r₁=c+di, el conjugado de r₁ también es raíz de Q, es decir, r₂=c-di es raíz de Q. Por cada par de raíces complejas conjugadas simples aparece una única fracción en la descomposición de P(x)/Q(x) de la forma:

Donde M y N son coeficientes indeterminados.

Resolución de integrales del tipo:

Ejemplo:

La descomposición del integrando en suma de fracciones simples es la siguiente:

Poniendo común denominador:

Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos los coeficientes:

Veamos la  aplicación de los procedimientos anteriores en los ejemplos desarrollados.