Aplicación del teorema de Pitágoras: Ecuación de la circunferencia
Una de las primeras aplicaciones que podemos encontrar en el teorema de Pitágoras, es su uso en la determinación de la ecuación de una circunferencia.
La relación métrica entre los dos catetos de un triángulo rectángulo son esencialmente la expresión del concepto de medida euclídeo.
Los puntos de una circunferencia se encuentran a igual distancia de un punto, O, denominado centro de la circunferencia.
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro, en una cantidad constante llamada radio.(W)
Para determinar la ecuación de la circunferencia analizaremos primero el caso en que ésta se encuentre con su centro en el origen del sistema de referencia. Posteriormente podremos generalizar dicha ecuación para que dicho centro se encuentre en cualquier posición del plano.
La distancia de cualquier punto P(x,y) de la circunferencia a su centro O es igual a su radio R.
En la figura se aprecia que esta distanca, R, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos, C1 y C2, a las coordenadas x e y del punto P. Por ello, aplicando el teorema de pitágoras:
Podemos mover la circunferencia, desplazando el centro de dicha circunferencia a cualquier punto del plano. Las coordenadas de su centro O serán (Xo, Yo), como se aprecia en la figura:
Los puntos de la circunferencia seguiran a distancia R del centro, pero en este caso los catetos del triángulo, en el sistema de referencia XY ya no serán las coordenadas (x,y) del punto P, sino la diferencia entre estas y las del centro (Xo,Yo).
Los catetos del triángulo anterior valdrán:
- C1=x-Xo
- C2=y-Yo
Por lo tanto, aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras, la nueva ecuación de la circunferencia será:
Podemos desarrollar esta ecuación y agrupar los coeficientes y las variables de forma ordenada, con lo que tendremos:
Simplificando y agrupando términos:
En los que los coeficientes A, B y C valen:
¿Sabrías determinar la ecuación de la circunferencia de centro el punto O(3,4) que pase por el origen de coordenadas (0,0) ?
Teorema de Pitágoras
La geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de Pitágoras, que establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo.
El concepto de medida del espacio euclídeo lo adopta en su definición de distancia, y las relaciones geométricas derivadas son de suma importancia.
A pitágoras debemos otros teoremas menos conocidos, así como el reconocimiento a la escuela de geómetras que creó, de la que hoy nos beneficiamos todos.
Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 – 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo a Pitágoras. Su escuela afirmaba «todo es número», por ello, se dedicó al estudió y clasificación de los números.(W)
Enunciado del Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras se puede enunciar de diferentes formas. Una de las más utilizadas es:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.(w)
Existen diferentes demostraciones de este importante teorema que es la base de la geometría métrica.
El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C.Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c (W)
Matemáticamente se puede enunciar con la siguiente ecuación:
Esta ecuación expresa que el área de un cuadrado de lado “a” es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados, uno de lado “b” y otro de lado “c”. Si denominamos “a” a la hipotenusa (lado más largo) de un triángulo rectángulo y “b” y “c” a los catetos, gráficamente se puede representar con la siguiente figura.
Para demostrar que esta ecuación se cumple, usaremos dos nuevas figuras obtenidas a partir de cuadrados de lado “b+c”. En el primero se dibuja un cuadrado inscrito de lado a cuyo área será el cuadrado de este lado. Para completar el área del cuadrado del que hemos partido deberemos añadir cuatro triángulos rectángulos iguales (azul claro).
En la figura de la derecha se han formado dos cuadrados, uno de lado “b” y otro de lado “c”. Para completar el área total se necesitan de nuevo cuatro triángulos rectángulos, lo mismo que en el caso anterior, lo que permite asegurar que el cuadrado de lado “a” tiene un área igual a la de la suma de los otros dos cuadrados.
Esta demostración tiene el encanto de ser muy gráfica y sencilla, sin apenas operaciones matemáticas.
Propiedades del triangulo rectángulo
Hay dos propiedades del triángulo rectángulo (un ángulo es recto) que tienen especial importancia para el desarrollo de conceptos más elaborados como son los de potencia e inversión que permiten desarrollar los modelos que analizan las tangencias Son los denominados teoremas de la altura y del cateto.
En la figura se ha representado un triángulo rectángulo que reposa sobre su hipotenusa. La altura del triángulo es la distancia del vértice “A” a la hipotenusa (su base).
Teoremas del cateto y de la altura.
Ambos teoremas se basan en el conocido teorema de Thales, que establece una relación entre los lados de dos triángulos semejantes.
Para demostrar que dos triángulos son semejantes basta con demostrar que tienen dos ángulos iguales.
En la figura anterior podemos encontrar tres triángulos semejantes: ABC, ABH y HCA. Los tres triángulos tienen un ángulo recto, y dos a dos comparten un ángulo, luego el tercero vale lo mismo.
Podemos por tanto, aplicando Thales, establecer algunas igualdades como:
BA/BC = BH/BA o AH/HC = BH/AH
siendo BA la distancia entre los puntos A y B etc.
Los siguientes teoremas se obtienen directamente de las relaciones anteriores:
•Teorema del cateto-.El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
- BA es el valor de uno de los catetos,
- BC el de la hipotenusa
- BH es la proyección de BA sobre la hipotenusa
•Teorema de la altura-.La altura de un triángulo rectángulo medida sobre su hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la divide.
- AH es la altura del triángulo medido sobre la hipotenusa
- BH y HC los dos segmentos en que divide la altura a la hipotenusa
Ejemplo de aplicación teorema del cateto
Datos (a, b, x. x = a. b ).
Incógnita ( Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados)
Ejemplo de aplicación teorema de la altura
Datos (a, b, x. x = a. b ).
Incógnita ( Hallar el segmento x media proporcional, entre dos segmentos a , b dados)
Datos (m, s, x + y = s , x .y = m. m).
Incógnita (Hallar dos segmentos x e y conocida su suma s y su media proporcional m o su producto m. m.)
Ejemplo de aplicación del triángulo rectángulo
Dados dos puntos A y B. Trazar por ellos dos rectas paralelas que disten la magnitud m dada.
Test de autoevaluación
Se deberá marcar V (verdadero) o F (Falso) cada una de las relaciones siguientes
Test 1
Utilizaremos diferentes subíndices para identificar a los elementos.
Por ejemplo, un triángulo tiene tres alturas. Si la medimos desde el vértice “A” la etiquetaremos con el subíndice “a” en minúscula.
Los lados opuestos a un vértice se etiquetarán con la misma letra pero en minúsculas
Utilizaremos diferentes subíndices para identificar a los elementos. Por ejemplo, un triángulo tiene tres alturas. Si la medimos desde el vértice “A” la etiquetaremos con el subíndice “a” en minúscula. Los lados opuestos a un vértice se etiquetarán con la misma letra pero en minúsculas | |
Para contestar a las preguntas, se recomienda buscar primero las posibles relaciones que se derivan de aplicar los teoremas expuestos (cateto y altura). |
El punto “H” se denomina pie de la altura hc H divide a la hipotenusa en dos segmentos. En este caso se ha utilizado incorrectamente la designación de los vértices del triángulo, ya que se debe usar la letra “A” para el que contiene el ángulo recto. |
Recuerda que debes identificar gráficamente los segmentos que se relacionan con la figura.
El interés es formar gráficamente de forma que las expresiones matemáticas no sean el nucleo formativo. Las construcciones gráficas son las que deben primar en un aprendizaje de la geometría básica para poder alcanzar altos niveles de abstracción.
Teorema de Thales
Uno de los teoremas más importantes de la geometría métrica es el enunciado por Thales de Mileto. Junto con el teorema de Pitágoras establecen las bases fundamentales de la axiomática de las geometrías métrica y proyectiva.
Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 – 545 a. C ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras.
Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.(W)
Enunciado del primer Teorema de Thales
El teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados. Permite definir un invariante proyectivo de aplicación a los sistemas de proyección cilíndricos: La razón simple.
Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas,los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales,es decir, se corresponden en la igualdad ,en la suma y en la resta.
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.(W)
El teorema establece las siguientes igualdades entre los cocientes de dos lados homólogos en dos triángulos semejantes:
- m/n = m’/n’
- m/n = (m+m’)/(n+n’)
- n/p = (n+n’)/p’
La semejanza entre dos triángulos nos permite por lo tanto establecer relaciones entre dos de sus lados determinando aspectos inherentes a la “forma” de dicho elemento geométrico, independientes de su “tamaño”. ¿Qué relaciones puedes observar en la siguiente figura?
En la figura se observan dos triángulos semejantes, pero podemos encontrar nuevos triángulos semejantes a los anteriores mediante rectas paralelas a sus lados:
Aplicando las relaciones anteriores, por semejanza entre los triángulos más pequeños se tiene que:
a/c = b/x
pero como x= d – c
a/c = b/(d-c)
y reordenando obtenemos la solución al ejercicio propuesto
a/b=c/(d-c)
Aplicaciones: Escalas
El concepto de semejanza se asocia con el de escala. Dos formas semejantes (igual forma pero diferente tamaño) sólo varían en la escala de su representación.
La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa.(W)
Escala = Medida lineal en el Dibujo/Medida lineal del objeto real
E= D / R
Por ejemplo, la escala E = 3/4 indica que de 4 unidades de medida del objeto real, tomamos 3 en el dibujo.
Elementos que forman una escala gráfica.
Una escala se construye sobre un soporte rectilíneo. Cada parte numerada se denomina módulo. La parte que se encuentra a la izquierda del cero se llama contraescala.
Construcción de Escalas
Como ejemplo de aplicación supongamos que queremos construir la escala 7/9.
Usaremos un soporte rectilíneo de longitud 7 unidades que representará las medidas del dibujo y una recta auxiliar de longitud nueve unidades unida por un extremo a la anterior que representará la medida de la realidad.
Uniremos los dos extremos libres de ambas rectas e iremos trazando paralelas a esta última recta por cada una de las unidades de la recta auxiliar.
Ejercícios
Los siguientes ejercicios permiten profundizar y asentar los conceptos tratados que serán fundamentales para, posteriormente, entender los invariantes proyectivos que usaremos en los sistemas de representación.
1.- División de un segmento s = AB en partes proporcionales a otros a, b, c.
2.- Si a/b= c/x, hallar el segmento x ,cuarta proporcional de tres segmentos a, b, c dados.
3.- Si a/b = b/x. Hallar el segmento x ,tercera proporcional de dos segmentos a, b dados.
4.- Hallar dos segmentos x é y, conocidas su suma s y su diferencia d.
5-. En la figura adjunta se pueden establecer diferentes relaciones entre los segmentos obtenidos al seccionar dos rectas paralelas por otras dos rectas:
Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso
- V F AD . AE = AB . BC
- V F AD / BC = AB / DE
- V F AB . DE = AD . BC
6.- En la figura adjunta se pueden establecer diferentes relaciones entre los segmentos obtenidos al seccionar dos rectas paralelas por otras dos rectas cualesquiera:
Indicar si la relación es verdadera (V) o falsa (F) en cada caso
- V F MN / NR = QP . QR
- V F MN . QR = MR . QP
- V F PR / RN = QR / RM
7.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y q sabiendo que:
- m = q + p
- p/q =2/3
8.- Dado un segmento m, determinar dos segmentos p y q sabiendo que:
- m = q – p
- p/q =2/3
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