Geometría Metrica

Presentación de los contenidos

El estudio de las diferentes geometrías (Métrica, descriptiva, proyectiva) se inicia en el bachiller, pero no encuentra su expresión más abstracta hasta los niveles universitarios.

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra ymetria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o en el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).(W)

En estas páginas se presentan un conjunto de temas básicos estructurados que nos permiten iniciarnos de forma razonada en el bello estudio de esta disciplina, la geometría, base del entendimiento en ingeniería de los diseños mecánicos.

• Secuencias de aprendizaje de la geometría métrica
• Conceptos Básicos en Geometría Métrica
• Potencia de un Punto respecto de una Circunferencia
• Geometría del triángulo Rectángulo
• Lugares Geométricos Básicos
• Transformaciones Geométricas
• Equivalencias
• Problema Fundamental de Tangencias (PFT)
• Haces de Circunferencias Corradicales
• Cónicas
• Angularidad

Presentación de los contenidos

	Secuencia de aprendizaje Al abordar el estudio de una ciencia podemos seguir diferentes trayectorias que conducen al aprendizaje. El encadenamiento de conceptos ligados unos a otros nos permitirá generar una representación mental de los modelos abstractos, facilitando su asimilación y posterior aplicación en la resolución de problemas. En estas páginas se proponen dos imágenes que resumen una posible estrategia o secuencia de incorporación progresiva de los conceptos básicos de esta rama de la ciencia en la formación de nuestros alumnos.
Conceptos preliminares
	Nociones sobre ángulos Los elementos geométricos en el plano que se cortan, rectas y circunferencias, pueden caracterizar su intersección mediante un valor denominado ángulo. La noción de ángulo entre dos rectas es la más elemental entre las que se dan entre rectas y circunferencias, y sirve de referencia para definir el ángulo entre recta y circunferencia o el que forman dos circunferencias coplanarias.
	Teorema de Thales El teorema de Thales establece la noción de semejanza entre dos triángulos relacionando la longitud de dos de sus lados. Permite definir un invariante proyectivo de aplicación a los sistemas de proyección cilíndricos: La razón simple.
	Teorema de Pitágoras La geometría métrica se fundamenta en el conocido teorema de Pitágoras, que establece la relación métrica entre los lados de un triángulo rectángulo. El concepto de medida del espacio euclídeo lo adopta en su definición de distancia, y las relaciones geométricas derivadas son de suma importancia.
	Aplicación del teorema de Pitágoras: Ecuación de la circunferencia Una de las primeras aplicaciones que podemos encontrar en el teorema de Pitágoras, es su uso en la determinación de la ecuación de una circunferencia. La relación métrica entre los dos catetos de un triángulo rectángulo son esencialmente la expresión del concepto de medida euclídeo.
	Angulos en la circunferencia: Central e inscrito. En geometría métrica hay dos conceptos de medida sobre los que se basa su modelo axiomático: medidas lineales y medidas angulares. La medida lineal se apoya en el teorema de Pitágoras, y la relación entre este tipo de medidas en el teorema de Thales. La medida angular la expresamos a partir de relaciones sobre una circunferencia y junto a las anteriores permiten describir la magnitud de las figuras geométricas.
	Arco capaz La relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central en una circunferencia permite obtener un lugar geométrico de gran importancia por sus numerosas aplicaciones en la geometría métrica; este lugar geométrico se denomina arco capaz. Los puntos de una circunferencia que son vértices de triángulos cuya base común es una cuerda de la circunferencia tienen la propiedad de tener asociado en ese vértice un mismo ángulo, que se corresponde con la mitad del ángulo central que abarca dicha base. Esta propiedad permite enunciar la definición del lugar geométrico denominado Arco capaz sobre un segmento.

“Potencia” de un punto respecto de una circunferencia La solución a los problemas de tangencias puede acometerse con diferentes estrategias que dan lugar a construcciones variadas. La utilización del concepto de “Potencia” permite unificar el modelo conceptual para la resolución de todos los posibles casos, reduciéndolos al denominado Problema Fundamental de Tangencias (PFT).
	Concepto de potencia. El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia permite relacionar las nociones estudiadas en los teorema de Thales y Pitágoras y es la puerta para el estudio de los problemas de tangencias y transformaciones como la inversión.
	Generalización del concepto de “Potencia”. El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia se basa en el producto de la mayor por la menor de las distancias de un punto a una circunferencia. Estos valores de la distancia se dan en la cuerda que contiene al centro de la circunferencia y al punto, es decir, en el diámetro que contiene a dicho punto. ¿Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P?

Geometría del triángulo rectángulo
	Teoremas de la altura y del cateto. Junto con los conceptos de potencia, la geometría del triángulo rectángulo permite resolver la obtención de medias proporcionales mediante los teoremas denominados de la altura y del cateto.
	Ejercício sobre triángulos rectángulos. con los conceptos de potencia generalizados  podremos resolver medias proporcionales con diferentes construcciones. A estas construcciones podremos añadir las derivadas de los teoremas de la altura y del cateto.

Unidades didácticas en formato PPT

Nociones básicas

Teorema de thales. Semejanza de triángulos. Conceptos preliminares. Ejercicios.

Pitagoras. Geometría del triángulo rectángulo. Ejercicios.

Angulos en la circunferencia. Arco capaz. Ejercicios.

Corradicalidad

Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Ejercicios.

Eje radical de dos circunferencias. Centro radical. Ejercicios.

Transformaciones

Equivalencia. Teoría y ejercicios.

Transformaciones. Teoría y ejercicios.

Complementos

Complementos de geometria.

Repaso acumulado

Construcción de formas poligonales. Apuntes de Triángulos y Polígonos del profesor Victorino Gonzalez García editados en la sección de publicaciones de la E.U.I.T.A. (UPM).

Apuntes de Conocimientos preliminares del profesor Victorino Gonzalez García editados en la sección de publicaciones de la E.U.I.T.A. (UPM).