El “Mapping class group” de una superficie orientable es el grupo de los automorfismos de la superficie (homeomorfismos de la superficie en sí misma) que preservan la orientación, definidos salvo deformación. Una de las herramientas principales para estudiar y comprender estos grupos es el complejo de curvas de una superficie. La forma en que los automorfismos actúan sobre las curvas nos permite conocer propiedades del grupo.

Por otro lado, los grupos de Artin (o grupos de Artin-Tits) son grupos definidos por un número finito de generadores y un tipo especial de relaciones. Los grupos de Artin de tipo esférico están íntimamente relacionados con los grupos de Coxeter finitos, es decir, los subgrupos finitos de GL(V) generados por reflexiones, donde V es un espacio vectorial real finitamente generado.

Estas dos familias de grupos, a priori muy distintas, tienen algo en común: los grupos de trenzas son un caso particular de cada una de ellas. En este curso veremos cómo hay conceptos y propiedades de los mapping class groups (y por tanto de los grupos de trenzas) que pueden extenderse a todos los grupos de Artin de tipo esférico. Por ejemplo, las curvas en la superficie (salvo isotopía) pueden verse como un tipo especial de subgrupos de los grupos de Artin, llamados subgrupos parabólicos irreducibles. Estudiaremos qué propiedades se pueden traducir de un entorno al otro, en un intento de establecer en los grupos de Artin de tipo esférico una teoría similar a la teoría de Nielsen-Thurston que se tiene en los mapping class groups, usando objetos puramente algebraicos.

La Topología Algebraica es una area dónde surgen naturalmente problemas de realización, ya que se enfoca en la interaccíon entre estructuras algebraicas y espacios topológicos. Estas cuestiones se plantean desde la década de 1970, cuándo Steenrod preguntó que álgebra es la cohomología de un espacio y Kahn preguntó qué grupos son el grupo de auto equivalencias homotópicas de un espacio simplmente conexo. Abordar estas cuestiones profundiza nuestra comprensión tanto de los espacios como de sus estructuras algebraicas asociadas, lo que las hace muy interesantes.

En esta charla, presentamos dos resultados recientes sobre la realización de acciones de grupos finitos. En primer lugar, mostramos que cualquier acción de un grupo finito en un grupo finitamente presentado es la acción del grupo de auto-equivalencias homotópicas de un espacio en su grupo fundamental. En segundo lugar, veremos como cualquier acción de un grupo finito en un módulo de permutaciones es la acción del grupo de auto-equivalencias homotópicas de un espacio en sus grupos de homología. Además, veremos que se puede perturbar cualquier complejo simplicial de manera que se reduzca el grupo de automorfismos a un subgrupo fijo sin cambiar su tipo de homotopía.

(Trabajo conjunto con Cristina Costoya y Antonio Viruel)

The homotopic distance is a unifying notion that generalizes classical concepts from algebraic topology and topological robotics, such as the Lusternik–Schnirelmann category or Farber’s topological complexity. In this talk, we introduce new invariants that provide lower bounds for the homotopic distance: the (co)homological distances, motivated by Fox’s homological category. We study their main properties and illustrate their behavior with representative examples. In particular, we establish results on cup-length and show that our cohomological invariant sharpens previously known bounds in the literature.

We also present a computational approach that reformulates these ideas in the framework of simplicial structures. Furthermore, we develop an algorithm, implemented in SageMath, that allows us to compute this invariant for any triangulable space. This method not only recovers the original invariant but also provides explicit coverings associated with it, a feature that is especially valuable for practical applications.

Using the language of Matschke’s spectral systems, we present a generalization of the Eilenberg–Moore spectral sequence and apply it to compute the homology of fibered products. We work with successive resolutions for the cotensor product, extending in that way Adam’s Cobar construction. The Eilenberg–Moore spectral system is defined by filtering this space over the poset of downsets of $\mathbb{Z}^n$. We apply this construction to the fibered product of several fibrations, by considering coalgebra and comodule strutures on the bases and total spaces of the fibrations. In this case, we show that the homology of the generalized Cobar and the homology of the fibered product are isomorphic.

An important geometric feature of hyperbolic surfaces, ie. the topological surfaces whose universal covering space is the hyperbolic plane, is the largest radius of a metric disc properly embedded in a given surface, known as its injectivity radius. In 1996, C. Bavard [1] showed that the maximal injectivity radius of any compact orientable hyperbolic surface without boundary is sharply bounded above by a certain extremal radius that depends only on the topology of the surface. This upper bound was later generalized for non-orientable closed hyperbolic surfaces and, in the following years, several authors studied the closed hyperbolic surfaces that contain an embedded metric disc of extremal radius, the so-called extremal surfaces, by using the uniformization of hyperbolic surfaces by NEC groups.

However, in the last decade, a dierent approach has been proposed by J. deBlois and K. Romanelli along the papers [2] and [3]. This new setting is based on the existence of a certain cell complex, the centered dual complex plus, and it has been essential in etermining the precise dependence of the extremal radius of any hyperbolic surface of nite type (which may have punctures and/or geodesic boundary) with respect to the underlying topology of the surface.

In this talk, based on a recent joint work [4] with Ernesto Girondo, we translate these results back into the language of uniformization by NEC groups and we apply this dierent point of view for solving some interesting problems about the non-closed extremal surfaces, such as counting the total number of extremal surfaces given their topological data.

[1] C. Bavard (1996). Disques extremaux et surfaces modulaire. Annales de la faculte des sciences de Touluse: Mathematiques, Serie 6, Volume 5, no. 2, pp. 191-202.
[2] J. DeBlois (2015). The centered dual and the maximal injectivity radius of hyperbolic surfaces. Geometry &; Topology, vol. 19, 953-1014.
[3] J. DeBlois, K. Romanelli (2021). The maximal injectivity radius of hyperbolic surfaces with geodesic boundary. Geometriae Dedicata, 210(1), 103-129.
[4] E. Girondo, C. Muñoz (2025). The NEC group uniformization of extremal hyperbolic surfaces with boundary and/or cusps. Preprint.

In a generic deformation of a smooth mapping, we often observe how the singularity at the origin splits into a collection of isolated singularities, along with possible non-isolated singularities. Isolated singularities constitute an analytic invariant of the mapping, which can be used to better understand the topology of the mapping near the singular point. In this joint work with J.J. Nuño-Ballesteros and R. Oset Sinha, we explore the isolated singularities emerging on a deformation of a corank 2 wave front in 4-space.

In this paper we will associate a family ${K_1, . . . ,K_l} ⊂ S^3$ of iterated torus knots to a given free numerical semigroup. We will describe the fundamental group of the knot complement of each knot of the family. Finally, we will show that all knots in the family have same Alexander polynomial and it coincides (up to a factor) with the Poincaré series of the free numerical semigroup. As a consequence, we will provide families of iterated torus knots with the same Alexander polynomial of an irreducible plane curve singularity but which are non-isotopic to its associated knot

Imagina que te dan una variedad, un par de tijeras y una barra de pegamento. Con este material, ¿serías capaz de obtener cualquier otra variedad de la misma dimensión? Se sabe que sí, siempre y cuando la variedad inicial y la variedad final tengan el mismo borde y la misma característica de Euler. Si ahora hablamos de variedades donde actúa un grupo finito, veremos que la respuesta no es tan fácil. Uno puede intentar buscar ayuda en la teoría de homotopía para atacar esta cuestión. En esta charla, explicaré cómo poner los grupos de cortado y pegado equivariantes en un contexto de teoría K algebraica. En particular, existe un espectro de teoría K que levanta los grupos de cortado y pegado equivariantes y es el dominio de un levantamiento a nivel de espectros de la característica de Euler equivariante con valores en el anillo de Burnside. Además, los grupos de cortado y pegado equivariante para subgrupos tienen la estructura de un funtor de Mackey, indicador de una estructura equivariante genuina conjetural.

Esto es un proyecto conjunto con Ming Ng, Mona Merling, Julia Semikina y Lucas Williams (arXiv:2501.06928).

El punto de partida que da pie a esta mesa redonda es la percepción que muchos docentes e investigadores tenemos respecto a la separación que hoy en día vivimos entre matemáticas e ingeniería (o quizás deberíamos decir entre matemáticos e ingenieros). Esta situación no es deseable, y repercute directamente en la formación de unos y otros.

La idea de esta mesa es compartir el punto de vista de varios profesores, matemáticos e ingenieros, basado en su propia experiencia docente e investigadora. Se analizarán las posibles causas de este desencuentro y tal vez podremos escuchar algunas posibles soluciones. En cualquier caso, entre los oyentes estarán principalmente jóvenes matemáticos que muy probablemente acaben siendo profesores de matemáticas en la universidad, y muchos de ellos lo serán en escuelas de ingeniería. En este sentido, asistir a este debate podrá ser muy enriquecedor para ellos, y en general para cualquiera interesado en este tema.

Participantes:

– Yolanda Sofía Doce Carrasco (ETSIDI – UPM)

– Emilio Gómez García (ETSIDI – UPM)

– Ángel González-Prieto (Facultad de Matemáticas – UCM)

– José Manuel Palacios Alberti (ETSIAAB – UPM)

– Luis Miguel Pozo Coronado (ETSISI – UPM)

Mediante ejemplos explicaré las orbificies (orbifolds) asociadas a formas cuadráticas enteras ternarias y cuaternarias.

En los últimos años, uno de los temas más activos en dinámica ha sido el estudio de los sistemas equicontinuos en promedio (en inglés, mean equicontinuous), introducidos en [7]. Basándose en contribuciones previas de otros matemáticos, los autores de [6] han proporcionado varias caracterizaciones equivalentes de la equicontinuidad en promedio para acciones continuas de grupos amenables sobre espacios métricos compactos. Surge entonces de manera natural la cuestión de cuál de estas formulaciones, si es que alguna, es la más adecuada para generalizar la teoría a contextos más amplios.

En otro ámbito, Clark y Hunton han obtenido recientemente [5] un invariante algebraico para los espacios de flujo (en inglés, flow spaces), que es como llaman a los continuos unidimensionales que admiten un flujo sin puntos fijos. Desde un punto de vista topológico, parte del interés en estos espacios nace de que la propia topología determina la dinámica: para cualesquiera dos flujos sin puntos fijos hay entre ellos una equivalencia orbital.

En esta charla, introduciremos una noción de equicontinuidad en promedio para estos espacios de flujo, utilizando modelos dinámicos transversales procedentes de la teoría de foliaciones (véase [2, 3]). Justificaremos nuestra definición con el siguiente resultado: en el caso minimal, un espacio de flujo es equicontinuo en promedio (respecto a nuestra definición) si y solo si existe una reparametrización del flujo que sea equicontinua en promedio (con la definición usual). A pesar de que el enunciado pueda parecer intuitivamente obvio, la demostración es compleja, generalizando técnicas usadas por Carriére ([4]) y usando la teoría de Molino topológica ([1]); es más, el resultado parece no ser cierto si obviamos la condición de minimalidad.

Dado que los espacios de flujo son, en particular, espacios foliados (también llamados laminaciones), esto sugiere además que la teoría de la equicontinuidad en promedio podría generalizarse a espacios foliados.

Todos los resultados de esta presentación se han obtenido conjuntamente con Maik Gröger.

Referencias
[1] J.A. Álvarez López y M.F. Moreira Galicia, Topological Molino’s Theory, Pacific Journal of Mathematics 280 (2016), 257–314.
[2] A. Candel y L. Conlon, Foliations I, Graduate Studies in Mathematics, vol. 23, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.
[3] A. Candel y L. Conlon, Foliations II, Graduate Studies in Mathematics, vol. 60, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
[4] Y. Carriére, Flots Riemanniens,  Astérisque, 116 (1984), 31–52.
[5] A. Clark y J. Hunton, A Complete Invariant for Flow Equivalence, arXiv:2410.08104.
[6] G. Fuhrmann, M. Gröger y D. Lenz, The structure of mean equicontinuous group actions, Israel Journal of Mathematics 247 (2022), 75–123.
[7] J. Li, S. Tu y X. Ye, Mean equicontinuity and mean sensitivity, Ergodic Theory and Dynamical Systems 35 (2015), no. 8, 2587–2612.

Dada una curva cuasiproyectiva compleja lisa con una estructura de orbifold adicional (que interpretamos como un conjunto finito de puntos con multiplicidades), podemos definir su grupo fundamental de orbifold y referirnos a los grupos definidos de esta manera como “grupos de curvas orbifold”. Esta clase de grupos incluye familias interesantes, como todos los productos libres finitamente generados de grupos cíclicos y todos los grupos de triángulo. En esta charla abordaremos el siguiente problema: dada una variedad cuasiproyectiva lisa U tal que su grupo fundamental tiene un epimorfismo a un grupo de curvas orbifold, ¿cuándo está este epimorfismo inducido por un morfismo algebraico de U a una curva C a nivel de grupos fundamentales (de orbifold)? También veremos algunas consecuencias geométricas de este resultado, y presentaremos ejemplos interesantes en el caso en que U es el complemento de una curva plana en CP^2. Trabajo conjunto con José Ignacio Cogolludo-Agustín

Uno de los resultados fundacionales de Peter May establece, esencialmente, que los espacios de lazos iterados son equivalentes, módulo homotopía, a las álgebras sobre el óperad de los cubos pequeños.

Desde entonces, la afirmación dual de Eckmann–Hilton ha permanecido como un problema abierto: la conjetura de que las suspensiones iteradas son equivalentes, módulo homotopía, a las coálgebras sobre el óperad de los cubos pequeños. En esta charla presentaremos una solución a este problema. Trabajo conjunto con Oisín Flynn-Connolly y Felix Wierstra.

El objetivo principal de la teoría de singularidades de aplicaciones diferenciables es describir el comportamiento cualitativo de una aplicación diferenciable $f\colon X\to Y$ entre variedades, en un entorno de un punto singular $y\in Y$. Dado que se trata de un problema local, podemos suponer, después de tomar cartas en las variedades, que $X=\mathbb R^n$ e $Y=\mathbb R^p$. Según resultados clásicos de R. Thom y de T. Fukuda, si las singularidades son razonablemente buenas (por ejemplo, son finitamente determinadas), la clasificación topológica es un problema discreto y viene dada básicamente por el link de la singularidad. Dicho link se obtiene al intersectar la imagen de la aplicación con una esfera suficientemente pequeña y da lugar a una aplicación topológicamente estable (o estable, si estamos en las buenas dimensiones de Mather) cuyas singularidades son bien conocidas. Cuando $n\le p$, el link es una aplicación entre esferas $\gamma\colon S^{n-1}\to S^{p-1}$ y $f$ es topológicamente equivalente al cono sobre el link. Cuando $n>p$, la situación es más complicada, ya que el link es una aplicación $\gamma\colon M\to S^{p-1}$, siendo $M$ una $(n-1)$-variedad con borde y además, es necesario considerar una versión generalizada del cono. Analizaremos algunos casos particulares en bajas dimensiones, donde los modelos combinatorios son bien conocidos en Geometría Computacional, como por ejemplo, la palabra de Gauss o el grafo de Reeb.

En este trabajo presentamos algunos algoritmos y programas para calcular distintos tipos de sucesiones espectrales, una herramienta útil de topología algebraica que se ha utilizado en numerosos problemas relacionados entre otros con el cálculo de grupos de homología y de homotopía de espacios. Nuestros programas permiten determinar todas las componentes de las sucesiones espectrales incluso cuando los espacios iniciales no son de tipo finito. Además, presentamos nuevos algoritmos para calcular sistemas espectrales, una generalización reciente de las sucesiones espectrales, y definimos de forma constructiva nuevos sistemas espectrales que combinan varias sucesiones espectrales.

Para estudiar los nudos, solemos clasificarlos en familias, atendiendo a algunas de sus propiedades. Así, es frecuente declarar que un nudo pertenece a cierta familia si admite un diagrama que satisface una determinada condición. Este es el caso de las distintas nociones de positividad de enlaces (enlaces positivos, trenza-positivos, quasipositivos…).  Las definiciones de estas familias (es decir, los requisitos que pedimos a los diagramas) están motivadas por los contextos en los que aparecen; además, algunos invariantes cumplen propiedades especiales cuando los restringimos a cada una de estas familias. 

En esta charla exploraremos las principales nociones de positividad de nudos y enlaces, señalando las relaciones entre ellas. También mostraremos las principales propiedades que se reflejan en algunos de los invariantes más conocidos.