APRENDE + (Estadística)

Todos los fenómenos en ciencias, pueden estudiarse a través de dos tipos de enfoques:

• Determinista (el Movimiento Rectilíneo Uniforme)
• Aleatório o estocástico (el Movimiento Browniano)

Sin embargo, cuando un experimentador realiza una medición en un ensayo sobre cualquier fenómeno, independientemente de que el enfoque del fenómeno sea determinista o estocástico, su medición sufre una indeterminación o incertidumbre, debido a la precisión del instrumento medidor, a la persona que mide y al espécimen (probeta) objeto de estudio. Por ejemplo, una regla escolar no puede darnos con precisión más allá de un milímetro, los ojos del ser humano tienen una precisión la cual se estima en 0.2 mm, etc … Por otro lado, el espécimen o probeta objeto de nuestros ensayos, tiene características grosera o levemente distintas a otro espécimen. Por ejemplo, si queremos estimar la tensión de rotura a cortante de un espécimen de madera de balsa de unas determinadas dimensiones, su tensión de rotura diferirá de la de otro espécimen (probeta) semejante. Su razón es que cada uno de los especímenes son realmente diferentes, los arboles del cual han sido extraídas las probetas pueden ser distintos, la parte de los arboles de los cuales se han tomado la madera pueden ser diferentes, las dimensiones exactas de las dos probetas (especímenes) pueden ser levemente diferentes, la forma de aplicar la carga puede ser levemente diferente. Así por tanto, el resultado de la medida de la tensión de rotura a cortante, por ejemplo, de probetas aparentemente iguales, pueden ser, en mayor o menor medida, diferentes. Aquí entra la estadística y, en particular, la estimación estadística en nuestra ayuda para obtener un resultado (distribución probabilística) la cual sea común a todos los ensayos de rotura a cortante (por ejemplo) realizados con probetas de madera de balsa, por ejemplo, de unas determinadas características generales.

En particular, para elementos originados en la naturaleza, como es el caso de la madera, la distribución de probabilidad estrella es la distribución normal, tanto en su función de densidad de probabilidad como en su forma de función de distribución de probabilidad, cuyas tablas ya han sido empleadas en algunos cursos de bachillerato.

La estadística es una ciencia o un conjunto de métodos científicos o una forma de razonamiento, posee varias y diversas definiciones según el enfoque deseado. Para exponer la cantidad de enfoques, y por tanto aplicaciones para la cual se usa, aquí van unas cuantas definiciones de los autores más destacados:

• Desde el punto de vista de la Política:

“La estadística es la ciencia del Estado, que estudia todo aquello que puede contribuir a su prosperidad.”. Gottfried Achenwall (1719 – 1772), economista e “inventor de la estadística”.

• Desde el punto de vista del Big Data (ver BIM o Building Information Modeling):

“La estadística es la ciencia del aprendizaje a partir de los datos.”. John Tukey (1015 – 2000), Estadístico.

• Desde el punto de vista Científico y Técnico:

“La estadística es una colección de métodos para planear experimentos, obtener datos y luego organizarlos, resumirlos, presentarlos, analizarlos e interpretarlos.”. Morris Hamburg (1922).

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

La estadística descriptiva tiene por objeto describir, a través de ciertos parámetros, gráficos y tablas, un determinado carácter de un conjunto de elementos bien definidos. Al conjunto de dichos elementos se le llama población (No necesariamente dicha población debe ser constituida por seres vivos).

Ejemplos:

EJEMPLO	POBLACIÓN	CARÁCTER
1	VIGAS BIAPOYADAS DE ACERO IPE150 DE 5 M DE LUZ CON CARGA PUNTUAL DE 10 kN A 2.5 M DEL APOYO	DEFLEXIÓN MÁXIMA O FLECHA MEDIDA
2	PARCELAS DE SUELO URBANO EN LA COMUNIDAD AUTÓNOMA DE MADRID	MUNICIPIO AL QUE PERTENECE Y SUPERFICIE
3	PROBETAS DE MADERA DE BALSA DE 200 mm DE ALTURA Y SECCIÓN CUADRA DE 10 mm X10 mm SOMETIDAS A COMPRESIÓN	CARGA CRÍTICA MEDIDA
4	Estudiantes del taller I de construir y Romper Estructuras Pequeñas del curso 2025-2026 del Grado de Fundamentos de la Arquitectura de la Universidad Politécnica de Madrid	Nota final del estudiante

Como se observa en los tres ejemplos, las poblaciones quedan definidas con palabras especificando el tipo de madera, la región geográfica, la luz de las vigas ,etc … El carácter a estudiar debe ser común a todos los individuos de esa población.

Sin embargo la respuesta a la pregunta:

¿Es fácil o incluso posible, acceder a todos los individuos de dicha población?

Normal y generalmente es una respuesta negativa.

En el ejemplo número 2, las parcelas urbanizadas son accesibles y es posible medir su superficie por métodos más o menos costosos. Sin embargo en los ejemplos 1 y 3 es imposible acceder a casi los infinitos, como podría ser en la práctica, individuos fabricados o construidos en el pasado, presentes actualmente o que se construirán o fabricarán en el futuro.

Cuando no es posible acceder a todos los individuos de la población, viene en nuestra ayuda la estadística inferencial o estimación estadística, la cual estudia una muestra de la población, para inferir o estimar parámetros, gráficos , tablas y unos artificios matemáticos llamados distribuciones probabilísticas de la población, los cuales veremos más adelante.

Así por tanto, la parte que más interesa de la Estadística, en el ámbito de las estructuras, es la Estimación Estadística.
¿Cuáles serán las poblaciones de estudio?. Van a ser materiales, piezas que componen las estructuras, las mismas estructuras, los suelos portantes de dichas estructuras, Accesorios como roblones, tornillos, soldaduras, etc …
¿Cuáles serán los caracteres a estudiar de esas poblaciones?. Según la población serán esfuerzos de rotura, módulos de elasticidad, deformaciones máximas, límites de elasticidad, límites de plasticidad, etc …

Parámetros, gráficos , tablas

Los parámetros más importates son los que describen la tendencia central y la dispersión.

De tendencia central: media, mediana y moda

De dispersión: varianza, desviación típica y cuartiles (cuantiles)

Gráficos ver aquí.

Tablas, ver ejemplos aquí.

PROBABILIDAD, CONCEPTO INTUITIVO

De forma laxa se puede definir la probabilidad como la cuantificación de la facilidad (dificultad) con la que puede observarse la aparición de un POSIBLE resultado en un EXPERIMENTO ALEATORIO, de TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES.
EJEMPLO:

EXPERIMENTO ALEATORIO	RESULTADOS (DÓMINIO MATEMÁTICO)
Lanzamiento de una moneda	cara, cruz
Medida por parte de un estudiante, del Taller I de Construir y Romper Estructuras, de la flecha de una determinada viga con una determinada configuración de carga.	Desde 0 mm a “infinitos” mm
Esfuerzo de rotura de barras de madera de balsa con unas dimensiones determinadas construirdas por parte de los estudiantes del Taller I de Construir y Romper Estructuras	Entre 0 N a “infinitos” N
Tirar un dado de 6 caras con puntuaciones de 1 a 6 en cada cara.	1, 2, 3, 4, 5, 6
Lanzamiento de dos monedas	{cara, cara},{cara, cruz},{cruz, cara}, {cruz, cruz}

Se llama SUCESO a cualquiera de los posibles resultados que pudieran ser observados, de un experimento aleatorio. Se llamará CONJUNTO DE SUCESOS ELEMENTALES al conjunto de posibles resultados únicos. Se Llamará ESPACIO DE SUCESOS al conjunto de todos los sucesos posibles, contiene el sucesos imposible o conjunto vacío, a todos los subconjunto que se puedan contruir como unión de los sucesos elementales y el suceso seguro que contiene a todos los sucesos elementales.. En el Espacio de sucesos se incluye al conjunto vacío, suceso imposible, al conjunto de los sucesos elementales y al suceso seguro, que aparezca uno u otro de cualquiera de los posibles resultados.

Ejemplo para el experimento lanzar una moneda:

EXPERIMENTO ALEATORIO	CONJUNTO DE SUCESOS ELEMENTALES	ESPACIO DE SUCESOS
Lanzamiento de una moneda	{cara}, {cruz}	{Φ, {cara}, {cruz}, {{cara}, {cruz}}} se traduce por: Φ: que el resultado sea que no hay resultado. {cara}: que el resultado sea cara. {cruz}: que el resultado sea cruz. {{cara}, {cruz}}: que el resultado sea cara Ó cruz.
Tirar un dado de 6 caras con puntuaciones de 1 a 6 en cada cara.	{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}	{Φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4}{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6}, {4,5},{4,6},{5,6}, {1,2,3},{1,2,4}{1,2,5},{1,2,6},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{3,4,5},{3,4,6},,{4,5,6},{1,2,3,4},…,{1,2,3,4,5,6}}

La probabilidad se puede computar como la razón entre sucesos o resultados posibles considerados y sucesos o resultados totales. En el ejemplo de lanzamiento de una moneda:

SUCESO O RESULTADO CONSIDERADO	NÚMERO DE CASOS POSIBLES (uno de los subconjuntos del espacio de sucesos que se corresponda con el resultado considerado)	RESULTADOS POSIBLES (suele coincidir con el número de elementos del suceso seguro o una combinación de alguno de ellos)	PROBABILIDAD
Nígún resultado (la moneda debería quedar en el suelo perfectamente de canto en equilibrio, algo que es pŕacticamente imposible)	0	2	0/2=0
Salir cara	1	2	1/2=0.5
Salir cruz	1	2	1/2=0.5
Salir cara o cruz (cualquier resultado o suceso seguro)	2	2	2/2=1

Observese que la probabilidad queda acotada entre 0 y 1.
En el caso del lanzamiento de un dado, para calcular la probabilidad de que salga 1 Ó 4 la probabilidad se calcula así:
Resultados considerados: 1 Ó 4, este sólo es un caso o subconjunto, {1,4} del Espacio de sucesos.
Resusltados posibles: 1 ó 2, 1 ó 3, 2 ó 5, etc … es decir: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4}{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6}, {4,5},{4,6},{5,6} 20 casos.
Probabilidad: 1/20

Si observamos bien y meditamos los ejemplos, a cada subconjunto o suceso del Espacio de sucesos se le puede asignar una probabilidad que da un número real entre cero y 1, incluidos estos.
Sin embargo en el caso de estos experimentos aleatorios es facil acotar los resultados ya que el número de subconjuntos del Espacio de sucesos es finito y numerable y, con mayor o menor dificultad, es posible asignarles una probabilidad. En el caso de lanzameinto de una moneda se puede observar lo sencillo que es.

Por último, la forma más intuitiva de pensar en la probabilidad es darse cuenta que es la frecuencia con la que tienen a producirse los sucesos. Por ejemplo, si experimentalmente tieramos una moneda y anotamos el número de caras (NC) y de cruces (NX) que nos van apareciendo y dicho número lo dividimos por el número de tiradas (NT) que llevamos se obtiene la frecuencia de caras (fc) o de cruces (fx):
fc=NC/NT
fx=NX/NT
La frecuencia fc se irá acercando a la probabilidad de que salga cara en una tirada, cuando NT tiene a ser muy grande para esa moneda. Igualmente le sucederá a fx. Si la moneda es perfecta esas frecuencias tenderán a ser 1/2, en caso contrario querría decir que la nomeda no es perfecta. Esa es la razón por la que están prohibidas las calculadoras o las máquinas de contar en los casinos ya que facilitaría el cálculo de probabilidades en ruletas y otros juegos por lo que siempre tenderíamos a apostar por el valor más probable una vez conocida la DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES de dichos juegos de azar. Ese es el concepto de DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES, es una función dque asigna a una suceso del espacio de sucesos una probabilidad.

Sin embargo. ¿Cómo afrontamos la asignación de probabilidad a sucesos acaecidos en experimentos como los relacionados con la mecánica de materiales, probetas, estructuras, …?. En este caso no es tan “sencillo” encontrar un espacio de sucesos, ni siquiera un conjunto de sucesos elementales ya que los resultados pueden ser infinitos. Además ¿Cómo asignamos una probabilidad a esos sucesos cuyo número de posibles resultados es infinito?.
En nuestra ayuda viene la DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDADES.

DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD

Dado que para mucho casos de estudio de la naturaleza, no es posible confeccionar una forma de asignar a un conjunto del espacio de sucesos una probabilidad, de la misma forma que se hace con la tirada de dados o la de monedas, algunos estudiosos empezaron a preguntarse. ¿Cómo se distribuye la probabilidad en la naturaleza?. Por ejemplo:
¿Cual será probabilidad de escojer un arbol al azar y que el diámtro de su tronco sea de 40 cm u otro valor determinado?.
¿Cual es la tensión o esfuerzo de rotura de una probeta de madera de balsa sometida a tracción?.
……………….
Midiendo, experimentando, haciendo gráficos, etc … se observó que la frecuencia con la cual se encontraba en la naturaleza una medida como las que altura, grosor, resistenca de vigas, etc … tenía una forma (función) característica que algunos llamaron campana de Gauss ya que se parecía a la función Gaussiana.
La función Gaussiana con unas caracterísica determinadas llamada DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD es la estrella de la estimación estadística. Esta función es una de las funciones más complicada yaque no existe una forma analítica de integrarla, debiendose realizar numéricamente. Su forma analítica (formulas) se puede ver aquí.
De la misma manera que una familia de parábolas puede ser definida por unos parámetros, por ejemplo:

PROCESO DE ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

Pero a partir de aquí comienzan los problemas más serios en la estadística para estos casos de estudio de los parámetros o variables de la mecánica de materiales.

• Se necesita la asistencia de la estimación estadística. Como hemos adelantado antes, no se puede estudiar la totalidad de la población de materiales, probetas, estructuras, etc … habidas, que hay o habrán en un futuro.
• Recordando que los parámetros de la distribución de probabilidad normal, esquematizada como N(m, σ²), donde m es la media de los parámetros de la población a estudiar (esfuerzos límites, cargas críticas, etc …) y σ es la varianza de de los parámetros de dicha pobación. Por supuesto es inabordable el acceso a todos los indivíduos de la población. Por tanto se debe usar la estimación estadística para estimar m y σ².
• La madia m y la variaza σ de la función de distribución normal N(m, σ) son los parámetros de dicha función al igual que a, b y c son los parámetros de la función de una parábola y = ax² + bx + c . Determinando a, b y c de dicha parábola, se conocerá a placer cualquier punto de la parábola, de la misma forma funciona m y σ en N(m, σ²).

Rocordando la ecuación de la función de distribución N(m, σ²):

En este caso, la ecuación tiene una expresión mucho más complicada que la de la parábola. Sin embargo m y σ² juegan el mismo papel que a,b y c en la parábola y determinando m y σ² quedaría completamente determinada la función de distribución pudiendo obtenerse toda la información de probabilidades de la población. Aunque la apariencia de “fiera” de esta ecuación pueda desanimar a cualquier, no debe ser así ya que los valores de dicha función la proporciona facilmente hojas de cálculo, tablas y programas variados. En el caso que nos ocupa ser usará más adelante Libre Office.

En cuanto a los parámetros m y σ² se demuestra que se correesponden precisamente a la media y varianza de la población que sigue dicha distribución. Esta es una clave muy importante a tener en cuenta.

Pero. ¿Qué es lo que queremos estimar?

Simplemente los parámetros de la función de distribución. Si la función la parábola y=ax²+by+c, es intentaría estima a, b y c. En el caso de distribuciones de probabilidad de nuestra población Normal N(m, σ²) se desearía esitmar la m (media poblacional) y la σ² (varianza poblacional)

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN

hay varios métodos de lo que aquí se van a destacar dos: intervalo de confianza y test de hipótesis. Se empezará por los intervalos de confianza. Pero antes se hablará de la muestra y el estimador.

la muestra:
Como se ha dicho,cuando el 100% de los individuos de una población no sea accesible, se toma una muestra. Para tomar una muestra hay que ser honesto y tomar dicha muestra al azar sin trampa ninguna. Por ejemplo, si se desea estimar el módulo de elasticidad E por el método de la flexión y de la flecha de una determinada viga, deben ser recogidas todas las que respeten el protocolo de medida establecidad, por muy “feas” que parezcan.
Un estimador es una operación que se realizar con los datos de la muestra. Las más importates con la media aritmética muestral y la cuasivarianza muestral.

Aquí se toma un número n de datos, cada uno de los datos es x_i. Dado que los datos se van recogiendo al azar, la media o la ccuasivarianza muestrales tamibén aparecen al azar y también se distribuirán como una normal. Es como la pesacadilla que se muerde la cola

Un intervalo de confianza es un margen en el que el verdadero valor del parámetro se encontraría bajo una determinada probabilidad. Por ejemplo:
Imagínese que se realiza una encuesta sobre intención de voto a Rector de la UPM en el cual se estima que José María Flores del Ramo obtendría entre el 42% y un 46% de los votos con una probabilidad del 95%. Otra forma de ver dicho intervalo de confianza es que se estima que el candidato José María Flores del Ramo obtendria un 44% de los votos con una probabilidad del 95% y un error del 2% (entre el 42% y el 46%).

¿Que ralación entre el margen del intervalo de confianza y la probabilidad del intervalo?
El margen de confianza depende íntimamente de la probabilidad del intervalo. De hecho primero se elige la probabilidad por parte del analista de los datos, de manera que si el intervalo de confianza alrededor de la media,de una probabilidad p es E, es decir:

Dicho E depende de p, es decirm es es función de p:

¿Cómo se calcula E dada una probabildiad p para la media?
Como se dijo antes la media muestral es un estimador muy importate. Eso es por la razón de que la media muestral es un muy bues estimador de la media poblacional (parece de sentido común aunque se puede demostrar matemáticamente). La media muestral, dado que se calcula a apartir de datos aleatorios, es un valor aleatorio cuya función de probabilidad sigue una normal N(m/√n, σ²) donde n es el número de datos de la muestra. Sin embargo es muy común desconocer la varianza porl o cual para estima la media el asunto se complica. Sin embargo aparece una nueva función de distribución que es la T de Student. Así el maregen E del intervalo de confianza se establece como:

De manera que el margen de confianza para la media muestral es:

En una hoja de calculo de Libre Office es muy facil realizar este margen de cconfianza.

En esta hoja de calulo de Libre Office de ESTIMACIÓN DE LA MEDIA se encuentra el cálculo (EN CONSTRUCCIÓN)