Introducción

Si queremos trazar la recta tangente a una curva, grafo de una función  y=f(x), en un punto (a , f(a)) sabemos que  la pendiente de dicha recta viene dada por la derivada de esta función en  x=a, es decir, la recta tangente es

y-f(a)=m (x-a) ,       m=f '(a)

Por tanto, la derivada de una función, f '(x), determina la pendiente de las rectas tangentes a su grafo en cada punto. Ahora nos preguntamos ¿seríamos capaces de reconstruir la función a partir de su derivada?, es decir, dada una función g(x), podemos encontrar  otra función, f(x), de forma que su derivada coincida con la inicial

f '(x)=g(x)

Este proceso será el "inverso" al de derivación y lo llamaremos integración o búsqueda de una primitiva. Vamos a aprender a realizar esta operación para ser capaces de resolver problemas como el siguiente:

Problema geométrico: Hallar una recta cuya pendiente sea 2 y pase por el (0,4).

Buscamos una función  y=f(x)=mx+n  tal que  f '(x)=m=2

 las rectas de la forma  y=2x+n  verifican la condición pedida sobre su pendiente.

* OBSERVACIÓN: hay infinitas rectas que verifican la misma condición, es decir, el proceso inverso a la derivación no es uno a uno.

imponemos la condición segunda que la recta pase por (0,4):  4=2^.0+n , por tanto, n=4

La recta solución del problema queda determinada imponiendo que la recta pase por un punto concreto, es decir,

 imponiendo una condición sobre el valor de la función, f(a), para un  cierto x=a: condición inicial

  La recta solución es   y=2x+4

Cuando estudiamos el movimiento rectilíneo de un móvil conocido el espacio recorrido, s₀, y el tiempo transcurrido en recorrer dicho espacio, t₀ , la velocidad media se calcula como  v₀=s₀/t₀ .

Si queremos conocer la velocidad en un instante determinado, t₁, tenemos que conocer la función espacio, s(t). La velocidad en el instante t₁ viene dada por la derivada de dicha función respecto del tiempo, es decir, v(t₁)=s'(t₁) .

Recíprocamente, nos podríamos preguntar: ¿conociendo la velocidad en función del tiempo, v(t), podemos hallar el espacio recorrido por el móvil? Es decir,  podemos encontrar una función s(t) cuya derivada en cada instante coincida con v(t), nuevamente nos aparece un proceso "inverso" al de derivación , tendremos que integrar para resolver problemas como:

Problema físico:  La velocidad de un móvil en un movimiento rectilíneo viene dada por v(t)=2t m/s .Hallar la función espacio, ¿es única?

Sabemos que la función  s(t)=t²  verifica que   s'(t)=2t=v(t)

pero igualmente cualquier función de la forma   s(t)=t² +C  , siendo C un número real cualquiera, verifica la relación anterior.

Observamos, pues, que el proceso "inverso" a la derivación no es unívoco: dada una función v(t) pueden existir infinitas funciones, s(t), cuya derivada es v(t).

•  Hallar la función distancia recorrida por el móvil, s(t), sabiendo que en el instante t=0 el móvil parte del origen, es decir, s(0)=0 .

Considerando el conjunto de soluciones anterior  s(t)=t² +C , imponemos la condición dada, s(0)=0, por tanto C=0

La solución a nuestro problema queda totalmente determinada conocida una condición inicial,

s(t)=t²