Método de sustitución o cambio de variable

En esta sección estudiaremos un método muy útil para la integración de cierto tipo de funciones compuestas: realizar un cambio de variable . Esta técnica de integración es comparable a la regla de la cadena en la derivación.

Si queremos resolver una integral indefinida

mediante un cambio de variable seguiremos los siguientes pasos:

• Elegimos  una función adecuada que posea inversa y sea derivable 

• Diferenciamos esta función

• Reescribimos la integral de partida en términos de la nueva variable t

• Resolvemos esta integral, es decir, obtenemos su primitiva

• Reemplazamos en la primitiva obtenida la variable t en función de x, es decir, deshacemos el cambio

• Comprobaremos que siguiendo este procedimiento obtenemos una primitiva de la función inicial

Al realizar una sustitución a veces es conveniente describir x en función de t, x=g(t),  o bien t en función de x, t=h(x), siendo estas dos funciones una inversa de la otra.

El objetivo principal para elegir un cambio de variable adecuado es conseguir una función de la nueva variable que sea más fácil de integrar o tengamos la certeza de que existe primitiva.

Existen cambios específicos para cierto tipo de funciones, pero generalmente tendremos que usar el ingenio para encontrar el cambio adecuado,  y podría haber más de uno.

Posibles estrategias para realizar un cambio de variable:

• Detectar que la función a integrar es, salvo factores constantes, del tipo

Por ejemplo:

haciendo el cambio  g(x)=t  obtendremos en este caso una función de integración inmediata

• Sustituir una expresión de la función a integrar por otra más simple, por ejemplo:

• Sustituir una expresión o la variable de la función a integrar por otra función que nos conduzca a otro tipo de integral, por ejemplo:

 Para cierto tipo de funciones se pueden establecer cambios de variable que nos conducen, generalmente, a la integración de una función racional:

1. Funciones racionales de exponenciales: 

siendo R(u) una función racional, es decir, cociente de polinomios en la variable o expresión u. En general, si u=u(x) es una función cuya inversa tiene derivada racional, el cambio u(x)=t convierte la integral en racional.

2. Funciones irracionales: cuando la variable está elevada a exponentes fraccionarios intentaremos "quitar" los radicales, para ello calculamos el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces, haciendo la siguiente sustitución

Este tipo de sustitución sirve también cuando bajo los radicales se encuentra un cociente de polinomios de grado uno

3. Funciones racionales de seno y coseno:  sea  R(sen x,cos x)  una función racional de seno y coseno del mismo argumento , la siguiente transformación reduce estas integrales  a una integral racional

¿Por qué?

Observa que generalmente es útil reducir cualquier función racional trigonométrica a funciones racionales de seno , coseno o tangente usando las relaciones trigonométricas conocidas.

En algunos casos, se pueden hacer otros cambios que convierten la integral trigonométrica en una integral racional, generalmente más sencilla que la que se obtiene con el cambio anterior

1. Si R es una función par en seno y coseno, es decir

2. Si R es una función impar en seno

3. Si R es una función impar en coseno